Question

在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ．现以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若圆C上的动点P的直角坐标为（x，y），求x+y的最大值，并写出x+y取得最大值时点P的直角坐标．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）由ρ=6cosθ+8sinθ利用x=ρcosθ、y=ρsinθ把极坐标方程化为直角坐标方程，并化简．
（Ⅱ）由圆C的参数方程

x=3+5cosθ y=4+5sinθ

（θ为参数），可得x+y=7+5

2

sin（θ+

π

4

），由此求得x+y的最大值，以及x+y取得最大值时点P的直角坐标．

解答： 解：（Ⅰ）由ρ=6cosθ+8sinθ，得 ρ²=6ρcosθ+8ρsinθ，
所以圆C的直角坐标方程为 x²+y²-6x-8y=0，
即 （x-3）²+（y-4）²=25．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得圆C的参数方程为

x=3+5cosθ y=4+5sinθ

（θ为参数）．
所以 x+y=7+5

2

sin（θ+

π

4

），
因此当θ=2kπ+

π

4

，k∈z时，x+y取得最大值为7+5

2

，
且当x+y取得最大值时点P的直角坐标为 （3+

5 2

2

 4+

5 2

2

）．

点评：本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．