Question

在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为（-1，0），（1，0）．设曲线C上任意一点P（x，y）满足|PA|=λ|PB|（λ＞0且λ≠1）．
（1）求曲线C的方程，并指出此曲线的形状；
（2）对λ的两个不同取值λ₁，λ₂，记对应的曲线为C₁，C₂．
（i）若曲线C₁，C₂关于某直线对称，求λ₁，λ₂的积；
（ii）若λ₂＞λ₁＞1，判断两曲线的位置关系，并说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意得

(x+1)2+y2

=λ

(x-1)2+y2

，由此能求出曲线C的方程，且曲线C是以（

λ2+1

λ2-1

，0）为圆心，

2λ

|λ2-1|

为半径的圆．
（2）（i）由（1）知曲线c_i（i=1，2）是圆，当两圆关于某直线对称时，r₁=r₂，由此能求出λ₁λ₂=1．
（ii）由λ₂＞λ₁＞1，由已知条件推导出|O₁O₂|＜|r₂-r₁|，从而得到圆O₁与圆O₂的位置关系是内含．

解答： 解：（1）由题意得

(x+1)2+y2

=λ

(x-1)2+y2

，
两边平方并整理，得曲线C的方程为：
（λ²-1）x²+（λ²-1）y²-2（λ²+1）x+λ²-1=0，
∵λ＞0，且λ≠1，∴曲线C的方程可化为：
（x-

λ2+1

λ2-1

）²+y²=（

2λ

λ2-1

）²，
∴曲线C是以（

λ2+1

λ2-1

，0）为圆心，

2λ

|λ2-1|

为半径的圆．
（2）（i）由（1）知曲线c_i（i=1，2）是圆，
设圆心O_i（

λi2+1

λi2-1

，0），半径ri=

2λi

|λi2-1|

．
当两圆关于某直线对称时，r₁=r₂，
即

2λ1

|λ12-1|

=-

2λ2

|λ22-1|

，
∵λ₁≠λ₂，∴

2λ1

λ12-1

=-

2λ2

λ22-1

，
整理，得（λ₁λ₂-1）（λ₁+λ₂）=0，
∵λ₁，λ₂＞0，∴λ₁λ₂=1．
（ii）∵λ₂＞λ₁＞1，
∴|O₁O₂|=|

λ12+1

λ12-1

-

λ22+1

λ22-1

|
=

2(λ22-λ12)

(λ12-1)(λ22-1)

=

2(λ2-λ1)(λ1+λ2)

(λ12-1)(λ22-1)

，
|r₂-r₁|=|

2λ2

λ22-1

-

2λ1

λ12-1

|
=|

2(λ12-λ22λ1+λ1-λ2

(λ12-1)(λ12-1)

|
=

2(λ2-λ1)(λ1λ2+1)

(λ12-1)(λ22-1)

，
又∵（λ₁+λ₂）-（λ₁λ₂+1）=-（λ₁-1）（λ₂-1）＜0，
∴|O₁O₂|＜|r₂-r₁|，
∴圆O₁与圆O₂的位置关系是内含．

点评：本题考查曲线方程的求法和曲线形状的判断，考查两实数积的求法，考查两圆位置关系的判断，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．