Question

如图：已知四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，PD=AD，
（1）求证：AC⊥面PDB；
（2）求二面角P-AC-D的正切值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结AC，BD，由已知条件推导出AC⊥BD，AC⊥PD，由此能证明AC⊥面PDB．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AC-D的正切值．

解答： （1）证明：连结AC，BD，
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PD，
∵PD∩BD=D，
∴AC⊥面PDB．
（2）解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，
建立空间直角坐标系，设PD=AD=1，
则A（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1），
∴

PA

=(1，0，-1)，

PC

=(0，1，-1)，
设平面PAC的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • PA =x-z=0 n • PC =y-z=0

，
取x=1，得

n

=（1，1，1），
又平面ADC的法向量

m

=(0，0，1)，
设二面角P-AC-D的平面角为θ，
cosθ=cos＜

m

，n＞=

1

3

=

3

3

，
∴sinθ=

1-( 3 3 )2

=

6

3

，
∴tanθ=

sinθ

cosθ

=

2

．
∴二面角P-AC-D的正切值为

2

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．