Question

（1）求证：函数f（x）=2^x+2^-x在[0，+∞）上是单调递增函数；
（2）求函数f（x）=2^x+2^-x（x∈R）的值域；
（3）设函数g（x）=

4x+2x+k+1

4x+2x+1+1

，若对任意的实数x₁，x₂，x₃，都有g（x₁）+g（x₂）≥g（x₃），求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：指数函数综合题,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用函数单调性的定义证明即可．
（2）根据函数的单调性求出[0，+∞）上的值域，再根据f（x）是偶函数，继而求出函数f（x）=2^x+2^-x（x∈R）的值域；
（3）化简g（x），令2^x+2^-x=t，则g(x)=r(t)=

t+2k

t+2

=1+

2k-2

t+2

  (t≥2)，分别讨论，求出k的取值范围．

解答： 解：（1）证明：设x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
因为f(x1)-f(x2)=(2x1+2-x1)-(2x2+2-x2)=(2x1-2x2)+(

1

2x1

-

1

2x2

)=(2x1-2x2)+

2x2-2x1

2x1+x2

=

(2x1-2x2)(2x1+x2-1)

2x1+x2

，
因为2x1+x2＞0，2x1-2x2＜0，2x1+x2-1＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
所以f（x）=2^x+2^-x在[0，+∞）上是单调递增函数．
（2）由（1）知，当x∈[0，+∞）时，f（x）∈[f（0），+∞），即f（x）∈[2，+∞），
又因为f（-x）=2^-x+2^x=f（x），所以f（x）是偶函数，
所以当x∈R时，f（x）的值域为[2，+∞）．
（3）因为对任意的实数x₁，x₂，x₃，都有g（x₁）+g（x₂）≥g（x₃），所以[2g（x）]_min≥[g（x）]_max
由于g(x)=

4x+2x+k+1

4x+2x+1+1

=

2x+2-x+2k

2x+2-x+2

，令2^x+2^-x=t，
则g(x)=r(t)=

t+2k

t+2

=1+

2k-2

t+2

  (t≥2)，
①当k=1时，r（t）=1，适合题意；                       
②当k＜1时，

2k+2

4

≤r(t)＜1，由2×

2k+2

4

≥1，得k＜1；   
③当k＞1时，1＜r(t)≤

2k+2

4

，由2×1≥

2k+2

4

，得1＜k≤log₂6．
综上，实数k的取值范围为（-∞，log₂6]．

点评：本题主要考查了函数的单调性奇偶性，属于中档题．