Question

已知函数f（x）=2

x

+

5-x

（Ⅰ）求证：f（x）≤5，并说明等号成立的条件；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|m-2|恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式,绝对值不等式

专题：选作题,不等式

分析：（Ⅰ）由柯西不等式可得（2

x

+

5-x

）²≤（2²+1²）[（

x

）²+（

5-x

）²]=25，即可得证；
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≤|m-2|恒成立，等价于|m-2|≥5，即可求出实数m的取值范围．

解答： （Ⅰ）证明：由柯西不等式可得（2

x

+

5-x

）²≤（2²+1²）[（

x

）²+（

5-x

）²]=25
∴f（x）=2

x

+

5-x

≤5，当且仅当

x

2

=

5-x

1

，即x=4时等号成立；
（Ⅱ）解：关于x的不等式f（x）≤|m-2|恒成立，等价于|m-2|≥5，
∴m≥7或m≤-3．

点评：本题考查柯西不等式，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．