Question

如图，矩形ABCD中，|AB|=2

2

，|BC|=2．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，分别以HF，EG所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，已知

OR

=λ

OF

，

CR′

=λ

CF

，其中0＜λ＜1．
（Ⅰ）求证：直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ：

x2

2

+y²=1上；
（Ⅱ）若点N是直线l：y=x+2上且不在坐标轴上的任意一点，F₁、F₂分别为椭圆Γ的左、右焦点，直线NF₁和NF₂与椭圆Γ的交点分别为P、Q和S、T．是否存在点N，使得直线OP、OQ、OS、OT的斜率k_OP、k_OQ、k_OS、k_OT满足k_OP+k_OQ+k_OS+k_OT=0？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知，得F（

2

，0），C（

2

，1），R（

2

λ，0），R′（

2

，1-λ），E（0，-1），G（0，1），由此求出直线ER的方程和直线GR′的方程，从而能够证明直线ER与GR′的交点为M在椭圆Γ上．
（Ⅱ）假设满足条件的点N（x₀，y₀）存在，则直线NF₁：y=k₁（x+1），直线NF₂：y=k₂（x-1），由

y=k(x+1) x2 2 +y2=1

，求出k_OP+k_OQ=-

2k1

k12-1

．同理，kOS+kOT=-

2k2

k22-1

，由此能求出满足条件的点N存在，其坐标为（-

5

4

，

3

4

）．

解答： （本小题满分13分）
（Ⅰ）证明：由已知，得F（

2

，0），C（

2

，1）．
由

OR

=λ

OF

，

CR′

=λ

CF

，得R（

2

λ，0），R′（

2

，1-λ）．
又E（0，-1），G（0，1），则
直线ER的方程为y=

1

2 λ

x-1，①
直线GR′的方程为y=-

λ

2

x+1． ②
由①②，得M（

2 2 λ

1+λ2

，

1-λ2

1+λ2

）．
∵

[ 2 2 1+λ2 ]2

2

+(

1-λ2

1+λ2

)2=

4λ2+(1-λ2)2

(1+λ2)2

=

(1+λ2)2

(1+λ2)2

=1，
∴直线ER与GR′的交点为M在椭圆Γ：

x2

2

+y²=1上．
（Ⅱ）解：假设满足条件的点N（x₀，y₀）存在，
则直线NF₁：y=k₁（x+1），其中k1=

y0

x0+1

，
直线NF₂：y=k₂（x-1），其中k2=

y0

x0-1

，
由

y=k(x+1) x2 2 +y2=1

，消去y并化简，得（2k12+1）x²+4k12x+2k^₁2-2=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=-

4k12

2k12+1

，x1x2=

2k12-2

2k12+1

，
∵OP，OQ的斜率存在，∴x₁≠0，x₂≠0，∴k12≠1，
∴k_OP+k_OQ=

y1

x1

+

y2

x2

=

k1(x1+1)

x1

+

k1(x2+1)

x2

=2k₁+k₁•

x1+x2

x1x2

=k1(2-

4k12

2k12-2

)=-

2k1

k12-1

．
同理，得kOS+kOT=-

2k2

k22-1

，
∴k_OP+k_OQ+k_OS+k_OT
=-2(

k1

k12-1

+

k2

k22-1

)
=-2•

k1k22-k1+k12k2-k2

(k12-1)(k22-1)

=-

2(k1+k2)(k1k2-1)

(k12-1)(k22-1)

，
∵k_OP+k_OQ+k_OS+k_OT=0，
∴-

2(k1+k2)(k1k2-1)

(k12-1)(k22-1)

=0，即（k₁+k₂）（k₁k₂-1）=0，
由点N不在坐标轴上，知k₁+k₂≠0，
∴k₁k₂=1，即

y0

x0+1

•

y0

x0-1

=1，③
又y₀=x₀+2，④
解③④得x0=-

5

4

，y0=

3

4

，
∴满足条件的点N存在，其坐标为（-

5

4

，

3

4

）．

点评：本题考查两直线交点在椭圆上的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意直线斜率公式的灵活运用．