Question

如图，三棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，顶点P在底面的射影是AC与BD的交点O，AB=2，∠PAC=60°．
（Ⅰ）求侧面PBC与底面ABCD所成的锐二面角的正切值；
（Ⅱ）在线段PB上是否存在一点E，使得AE⊥PC，若存在，试确定点E的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出∠PMO为侧面与底面所成二面角平面角，由此能求出侧面PBC与底面ABCD所成的锐二面角的正切值．
（2）以O为原点建立空间O-xyz，利用向量法能求出存在点E，且点E分PB的比为2时，满足AE⊥PC．

解答： 解：（Ⅰ）如图，O为底面ABCD的中心，
则∠PAO为PA与底面所成的角，
∴∠PAO=60°，
∵AO=

2

，∴PO=

6

，PA=2

2

，
过O作OM⊥BC于M，连结PM，
由三垂线定理，得BC⊥PM，
∴∠PMO为侧面与底面所成二面角平面角，
∵OM=1，PO=

6

，
∴tan∠PMO=

6

，
∴侧面PBC与底面ABCD所成的锐二面角的正切值为

6

．
（2）如图，以O为原点建立空间O-xyz，
则A（0，-

2

，0），C（0，

2

，0），P（0，0，

6

），B（

2

，0，0），
假设在PB上存在一点E，满足条件，设E分PB的比为r，
则E（

2 r

1+r

，0，

6

1+r

），
∴

AE

=(

2 r

1+r

，

2

，

6

1+r

)，

PC

=(0，

2

，-

6

)，
∵AE⊥PC，∴2-

6

1+r

=0，解得r=2．
∴存在点E，且点E分PB的比为2时，满足AE⊥PC．

点评：本题考查直线与平面所成角的正切值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断所求法，解题时要注意向量法的合理运用．