Question

如图，△ACB与△ADB是有公共斜边AB的两个等腰直角三角形，平面ACB⊥平面ADB，求异面直线AC与BD所成的角．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：取AB的中点O，连接OC，OD，可证得OD，OB，OC两两相互垂直，且OD=OB=OC，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，求出异面直线AC与BD的方向向量，代入向量夹角公式，可得答案．

解答： 解：取AB的中点O，连接OC，OD，
∵△ACB为等腰直角三角形，故OC⊥AB，
又∵平面ACB⊥平面ADB，
∴OC⊥平面ADB，
同理可证：OD⊥AB，
则OD，OB，OC两两相互垂直，且OD=OB=OC，
令OD=OB=OC=a，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，-a，0），C（0，0，a），B（0，a，0），D（a，0，0）
则

AC

=（0，a，a），

BD

=（a，-a，0），
设异面直线AC与BD所成的角为θ，
则cosθ=

| AC • BD |

| AC |•| BD |

=

a2

2 a• 2 a

=

1

2

，
∴θ=60°，
即异面直线AC与BD所成的角为60°．

点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中建立空间坐标系，将异面直线夹角转化为向量是解答的关键．