Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和圆O：x²+y²=b²，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．
（1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e的值；
（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求椭圆离心率e的取值范围；
（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，问当点P在椭圆上运动时，

a2

|ON|2

+

b2

|OM|2

是否为定值？请证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）（ⅰ）利用圆O过椭圆的两个焦点，推出b、c关系，然后求椭圆的离心率e的值；
（ⅱ）通过∠APB=90°，推出|OP|=

2

b，得到a、b不等关系，即可求椭圆离心率e的取值范围；
（2）设P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用切线关系，求出PA方程，PB方程，然后求出直线AB的方程，求出|ON|，|OM|，然后推出

a2

|ON|2

+

b2

|OM|2

为定值．

解答： 解：（1）（ⅰ）∵圆O过椭圆的焦点，圆O：x²+y²=b²，∴b=c，
∴b²=a²-c²=c²，a²=2c²，∴e=

2

2

．
（ⅱ）由∠APB=90°及圆的性质，可得|OP|=

2

b，∴|OP|²=2b²≤a²，
∴a²≤2c²∴e2≥

1

2

，

2

2

≤e＜1．
（2）设P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

y0-y1

x0-x1

=-

x1

y1

，整理得x0x+y0y=x12+y12
∵x12+y12=b2
∴PA方程为：x1x+y1y=b2，PB方程为：x2x+y2y=b2．
从而直线AB的方程为：x0x+y0y=b2．
令x=0，得|ON|=|y|=

b2

|y0|

，令y=0，得|OM|=|x|=

b2

|x0|

，
∴

a2

|ON|2

+

b2

|OM|2

=

a2 y 2 0 +b2 x 2 0

b4

=

a2b2

b4

=

a2

b2

，
∴

a2

|ON|2

+

b2

|OM|2

为定值，定值是

a2

b2

．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，以及圆与圆锥曲线的位置关系，椭圆的基本性质，综合性比较强，考查逻辑推理以及计算能力，是中档题．