Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，向量

a

=（2，-1），

b

=（a_n+2ⁿ，a_n+1）且

a

⊥

b

．
（Ⅰ）求证数列{

an

2n

}为等差数列，并求{a_n}通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

an

n(n+1)2

，若对任意n∈N^*都有b_n＞

m2-3m

9

成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用向量数量积的坐标运算可得an+1=2an+2n+1，整理得

an+1

2n+1

=

an

2n

+1，于是可证数列{

an

2n

}为等差数列，继而可得{a_n}通项公式；
（Ⅱ）依题意可知bn=

2n

(n+1)2

，令

bn+1

bn

=2•[

n+1

n+2

]2＞1，依题意，可求得(bn)min=

4

9

，解不等式

m2-3m

9

＜

4

9

即可求得m的取值范围．

解答： （Ⅰ）证明：因为

a

=（2，-1），

b

=（a_n+2ⁿ，a_n+1）且

a

⊥

b

，
所以2(an+2n)-an+1=0…2 分
即an+1=2an+2n+1，∴

an+1

2n+1

=

an

2n

+1…4 分
所以数列{

an

2n

}为等差数列，…5 分
且

an

2n

=

a1

2

+(n-1)×1=n，
∴an=n×2n…6 分
（Ⅱ）解：依题意可知bn=

2n

(n+1)2

，令

bn+1

bn

=2•[

n+1

n+2

]2＞1，得n2＞2⇒n＞

2

…8 分
即当n≥2，n∈N，都有b₂＜b₃＜…＜b_n，…9 分
而b1=

1

2

＞b2=

4

9

，故(bn)min=

4

9

…10分
从而

m2-3m

9

＜

4

9

，解得-1＜m＜4…13 分

点评：本题考查数列的求和，考查等差数列关系的确定及函数恒成立问题，考查转化思想与运算能力，属于中档题．