Question

已知函数f（x）的定义域为R，对一切x，y∈R，都有f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若f（4）=1，且f（x）在（0，+∞）是增函数，解不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数奇偶性的性质,奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法，结合函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性；
（2）根据函数的奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化即可解不等式．

解答： 解：（1）∵对一切x，y∈R，都有f（xy）=f（x）+f（y）．
∴当x=y=0时，f（0）=f（0）+f（0），则f（0）=0，
令y=1，则f（x）=f（x）+f（1），则f（1）=0，
令x=y=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1）=0，
则f（-1）=0，
令y=-1，则f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），
即函数f（x）是偶函数；
（2）∵f（xy）=f（x）+f（y）．
∴不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．
等价为f[（3x+1）（2x-6）]≤3．
若f（4）=1，
则f（16）=f（4）+f（4）=1+1=2，
f（4）+f（16）=f（64）=1+2=3，
则f[（3x+1）（2x-6）]≤3．
等价为f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64）．
∵f（x）是偶函数且f（x）在（0，+∞）是增函数，
∴不等式等价为-64≤（3x+1）（2x-6）≤64．
即-64≤6x²-16x-6≤64．
即

6x2-16x+58≥0 6x2-16x-70≤0

，
则

3x2-8x+29≥0 (2x-10)(3x+7)≤0

，
解得-

7

3

≤x≤5．

点评：本题主要考查抽象函数的应用，根据函数的奇偶性和单调性的定义和性质是解决本题的关键．