Question

已知函数f（x）=

xlnx，x＞a -x2+2x-3，x≤a

，其中a≥0．
（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）如果对于任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂），求a的取值范围．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）当a=0时，求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可得到切线方程；
（Ⅱ）先考察函数g（x）=-x²+2x-3，x∈R的图象，得到a≤1；考察函数h（x）=xlnx，x∈（0，+∞）的图象，从而确定a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，得f'（x）=（xlnx）'=lnx+1，其中x＞0，…（2分）
所以 f'（1）=1，
又因为f（1）=0，
所以函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．…（4分）
（Ⅱ）先考察函数g（x）=-x²+2x-3，x∈R的图象，
配方得g（x）=-（x-1）²-2，…（5分）
所以函数g（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，且g（x）_max=g（1）=-2．…（6分）
因为对于任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂）成立，
所以a≤1．…（8分）
以下考察函数h（x）=xlnx，x∈（0，+∞）的图象，
则 h'（x）=lnx+1，
令h'（x）=lnx+1=0，解得x=

1

e

．…（9分）
随着x变化时，h（x）和h'（x）的变化情况如下：

x	(0，  1 e )	1 e	( 1 e ， +∞)
h'（x）	-	0	+
h（x）	↘		↗

即函数h（x）在(0， 

1

e

)上单调递减，在(

1

e

， +∞)上单调递增，且h(x)min=h(

1

e

)=-

1

e

．…（11分）
因为对于任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂）成立，
所以 a≥

1

e

．…（12分）
因为-

1

e

＞-2（即h（x）_min＞g（x）_max），
所以a的取值范围为[

1

e

，1]．…（13分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．