Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁=2，D为AB的中点，且CD⊥DA₁．
（1）求证：BB₁⊥平面ABC．
（2）求证：BC₁∥平面CA₁D．
（3）求三棱锥C-A₁BD的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）先证明出CD⊥AB，进而证明出CD⊥DA₁，DA₁则可利用线面垂直的判定定理证明出CD⊥平面ABB₁A₁，进而可知BB₁⊥CD，最后根据线面垂直的判定定理证明出BB₁⊥平面ABC．
（2）先证明出BC₁∥DE，继而根据线面平行的判定定理证明出BC₁∥平面CA₁D．
（3）先判断出CD是三棱锥的高，进而根据三棱锥的体积公式求得答案．

解答： 证明：（1）∵AC=BC，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，
∵CD⊥DA₁，DA₁∩AB=D，
∴CD⊥平面ABB₁A₁，
∵BB₁⊥CD，BB₁⊥AB，
∴BB₁⊥平面ABC．
（2）连接AC₁交A₁C与E，连接DE，则BC₁∥DE，
∵DE?平面CA₁D，BC₁?平面CA₁D，
∴BC₁∥平面CA₁D．
（3）∵CD⊥ABB₁A₁，
∴CD是三棱锥的高，
在Rt△ABC中，AC=BC=2，
∴AB=2

2

，CD=

2

，
∴VC-A1BD=

1

3

S•CD=

1

6

×

2

×2×

2

=

2

3

．

点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用，三棱锥体积的计算．考查了学生立体几何 综合素质．