Question

如图，在单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设M是△A₁BD内任一点（不包括边界），定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是三棱锥M-ADA₁、三棱锥M-ABA₁、三棱锥M-ADB的体积．若f（M）=（

1

12

，x，y），则

18-11x-2xy

2xy-x+2

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：f（M）=（m，n，p）中，m+n+p=

1

6

，当f（M）=（

1

12

，x，y）时，得x+y=

1

12

（x＞0，y＞0），

18-11x-2xy

2xy-x+2

=

18-11x-2x( 1 12 -x)

2x( 1 12 -x)-x+2

=

12x2-67x+108

-12x2-5x+12

，由此能求出结果．

解答： 解：∵M是△A₁BD内任一点
∴三棱锥M-ADA₁、三棱锥M-ABA₁、三棱锥M-ADB的体积和等于三锥锥A-A₁BD的体积
即f（M）=（m，n，p）中，m+n+p=

1

6

，
当f（M）=（

1

12

，x，y）时，得x+y=

1

12

（x＞0，y＞0）
∴

18-11x-2xy

2xy-x+2

=

18-11x-2x( 1 12 -x)

2x( 1 12 -x)-x+2

=

12x2-67x+108

-12x2-5x+12

，
令t=

12x2-67x+108

-12x2-5x+12

，
整理，得（12+12t）x²+（5t-67）x+108-12t=0，
当t≠-1时，
△=（5t-67）²-4（12+12t）（108-12t）≥0，
整理，得601t²-5258t-675≥0，
解得t≥8.88，或t≤-0.13．（舍）
∴

18-11x-2xy

2xy-x+2

的最小值为8.88．
故答案为：8.88．

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，基本不等式，进而将问题转化为函数求值域问题，是解答本题的关键．