Question

已知数列{a_n}中，a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）．
（1）求数列{a_n}前三项之和S₃的值；
（2）证明：数列{a_n+a_n-1}（n≥2）是等比数列；
（3）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：等比数列的性质,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据递推式先求得a₃，把前三项相加即可求得前三项之和S₃的值．
（2）把已知等式两端同时加上a_n-1，整理可得

an+an-1

an-1+an-2

=3，根据等比数列的定义推断出数列{a_n+a_n-1}（n≥2）是等比数列．
（3）根据等比数列通项公式求得数列{a_n+a_n-1}的通项公式，利用拆项累和求得a_n，最后把n=1验证，综合可得数列{a_n}的通项公式．

解答： 解：（1）∵a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2，
∴a₃=2a₂-3a₁=19，
S3=a₁+a₂+a₃=26．
（2）∵a_n=2a_n-1+3a_n-2，等号两端同时加上a_n-1，整理得a_n+a_n-1=3（a_n-1+a_n-2），
∴

an+an-1

an-1+an-2

=3，
∴数列{a_n+a_n-1}（n≥2）是等比数列．
（3）由（2）知，数列{a_n+a_n-1}的通项为：a_n+a_n-1=7×3^n-2，n≥2，
拆项累和得：
（-1）ⁿa_n=[（-1）ⁿa_n-（-1）^n-1a_n-1]+[（-1）^n-1a_n-1-（-1）^n-2a_n-2]+…+[（-1）²a₂-（-1）a₁]+（-1）a₁，
=7•[（-3）^n-2+（-3）^n-3+…+（-3）⁰-5
=

7•[1-(-3)n-1]

1+3

-5
=-

7

4

•（-3）^n-1-

13

4

，
∴a_n=

7

4

•（-3）^n-1-

13

4

（-1）ⁿ，n≥2，
经验证知，上式对n=1也成立，
故数列的通项公式为：a_n=

7

4

•（-3）^n-1-

13

4

（-1）ⁿ，n∈N^*．

点评：本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式的应用．考查了学生推理和运算的能力．