Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且∠ABC=90°，AD∥BC，AD=2，AB=BC=1，PA⊥平面ABCD，E是线段AB的中点．
（1）证明：PC⊥CD；
（2）PA上是否存在点G，使得EG∥平面PCD；
（3）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以

AB

，

AD

，

AP

为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PC⊥CD．
（2）求出平面PCD的法向量，由EG∥平面PCD，能求出满足AG=

1

4

AP的点G即为所求．
（3）由PA⊥平面ABCD，知∠PBA是PB与平ABCD所成的角，由此利用向量法能求出二面角A-PD-C的余弦值．

解答： （1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，AB=1，AD=2，
以

AB

，

AD

，

AP

为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则由题意知A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），
不妨令P（0，0，t），
∵

PC

=(1，1，-t)，

DC

=(1，-1，0)，
∴

PC

•

DC

=0，
∴PC⊥CD．
（2）解：设平面PCD的法向量为

n

=（x，y，z），
由

n • PC =x+y-tz=0 n • DC =x-y=0

，
取z=1，得

n

=（

t

2

，

t

2

，1），
设G点坐标为（0，0，m），E（

1

2

，0，0），则

EG

=(-

1

2

，0，m)，
要使EG∥平面PCD，则

EG

•

n

=0，
即-

1

2

×

t

2

+0×

t

2

+1×m=0，
解得m=

t

4

，
∴满足AG=

1

4

AP的点G即为所求．
（3）解：∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平ABCD所成的角，
∴∠PBA=45°，PA=1，
∵AB⊥平面PAD，∴

AB

是平面PAD的法向量，
由（2）知平面PCD的法向量为

n

=(

1

2

，

1

2

，1)，
∴cos＜

AB

，

n

＞=

AB • n

| AB || n |

=

1 2

1 4 + 1 4 +1

=

6

6

，
∴二面角A-PD-C的余弦值为

6

6

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．