Question

设函数f（x）=e^x-ax-2．
（Ⅰ）求函数f（x）=e^x-ax-2的图象在点A（0，-1）处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x-k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据k=f′（0），再根据点斜式求出切线方程．
（Ⅱ）利用导数求函数的单调性；
（Ⅲ）求参数的取值范围，就求k的最值问题，利用导数求函数的最值，故当x＞0时，(x-k)f/(x)+x+1＞0?k＜

x+1

ex-1

+x(x＞0)．令g(x)=

x+1

ex-1

+x，问题转化为求g（x）的最值问题．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=e^x-ax-2，x∈R，f′（x）=e^x-a，x∈R，f′（0）=1-a，
函数f（x）=e^x-ax-2的图象在点A（0，-1）处的切线方程为y=（1-a）x-1．
（Ⅱ）f′（x）=e^x-a，x∈R．
若a≤0，则f′（x）＞0恒成立，所以，f（x）在区间（-∞，+∞）上单调递增．
若a＞0，则当x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，
所以，f（x）在区间（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．
（ III）由于a=1，所以，（x-k）f′（x）+x+1=（x-k）（e^x-1）+x+1．
故当x＞0时，(x-k)f/(x)+x+1＞0?k＜

x+1

ex-1

+x(x＞0)．①
令g(x)=

x+1

ex-1

+x，则g/(x)=

-xex-1

(ex-1)2

+1=

ex(ex-x-2)

(ex-1)2

．
函数h（x）=e^x-x-2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0．
所以h（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点．
设此零点为α，则α∈（1，2）．当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；
所以，g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．由g′（α）=0，可得e^α=α+2，
所以，g（α）=α+1∈（2，3）．由于①式等价于k＜g（α）．
故整数k的最大值为2．

点评：本题主要考查了导数和函数的单调性和最值的问题，求参数的取值范围经常就是转化为求某个函数的最值问题．