Question

已知二次函数y=x²-x-2，实数a＞-2
（1）求函数在-2＜x≤a之间的最小值；
（2）求函数在a≤x≤a+2之间的最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由于二次函数y=x²-x-2的对称轴为x=

1

2

，分当-2＜a＜

1

2

时和当a≥

1

2

时两种情况，分别利用二次函数的性质求得函数的最小值．
（2）分对称轴x=

1

2

，在区间[a，a+2]的右边、中间、左边三种情况，分别利用二次函数的性质求得函数的最小值．

解答： 解：（1）由于二次函数y=x²-x-2=(x-

1

2

)2-

9

4

，实数a＞-2，对称轴为x=

1

2

，
当-2＜a＜

1

2

时，函数y在-2＜x≤a之间是减函数，最小值为(a-

1

2

)2-

9

4

．
当a≥

1

2

时，由二次函数的性质可得最小值为-

9

4

．
（2）由题意可得，a+2＞0，①当a+2＜

1

2

时，即a＜-

3

2

时，函数在a≤x≤a+2之间是减函数，
最小值为(a+2-

1

2

)2-

9

4

=a²+3a．
②当a+2≥

1

2

 且a＜

1

2

时，即-

3

2

≤a＜

1

2

时，由二次函数的性质可得最小值为-

9

4

．
③当a≥

1

2

时，函数在a≤x≤a+2之间是增函数，函数的最小值为 a²-a-2．

点评：本题主要考查二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．