Question

已知正项数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n²-（n²+2n-3）S_n-3（n²+2n）=0（n∈N^*）
（Ⅰ）求证：S_n=n²+2n；
（Ⅱ）求数列{

1

Sn

}的前n项和Tn．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）根据条件进行因式分解即可证明S_n=n²+2n；
（Ⅱ）求出求数列{

1

Sn

}的通项公式，利用裂项法即可求数列的前n项和Tn．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n²-（n²+2n-3）S_n-3（n²+2n）=0（n∈N^*），
∴[S_n-（n²+2n）][（S_n+3）]=0，
∴S_n=n²+2n或S_n=-3，
∵{a_n}是正项数列，
∴S_n=n²+2n成立．
（Ⅱ）∵S_n=n²+2n
∴

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）
则数列{

1

Sn

}的前n项和Tn=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

3n2+5n

4(n+1)(n+2)

．

点评：本题主要考查数列的通项公式的求解以及利用裂项法求数列的前n项和，考查学生的计算能力．