Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，E，F分别是PB，PC的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：AE⊥PC．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）先证明出EF∥AD，进而根据线面平行的判定定理证明出EF∥平面PAD   
（Ⅱ）先根据线面垂直的判定定理证明出BC⊥平面PAB，进而根据线面垂直的性质推断出AE⊥BC，然后根据线面垂直的判定定理证明出AE⊥平面PBC，则AE⊥PC得证．

解答： （Ⅰ）证明：∵E，F分别是PB，PC的中点，
∴EF∥BC，
∵BC∥AD，
∴EF∥AD，
∵EF?平面PAD，AD?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
（Ⅱ） 证明：∵AP=AB，E是PB的中点，
∴AE⊥PB，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，
∵AB⊥BC且PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，
∵AE?平面PAB，
∴AE⊥BC，
∵PB∩BC=B，
∴AE⊥平面PBC，
∴AE⊥PC．

点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生空间观察能力和推理能力．