Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，点M在线段PC上，MC=2PM．
（Ⅰ）求证：PA∥平面MQB；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（I）连接AC交BQ于点N，连接MN，由已知条件推导出MN∥PA，由此能证明PA∥平面MQB．
 （II）以Q为坐标原点，分别一QA，QB，QP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-BQ-C大小．

解答： （I）证明：连接AC交BQ于点N，连接MN，
∵AQ∥BC，∴

AN

NC

=

AQ

BC

=0.5，
∵2PM=MC，∴

PM

MC

=0.5，
∴

PM

MC

=

AN

AC

，∴在△PAC中，MN∥PA，
∵MN?平面MQB，PA不包含于平面MQB，
∴PA∥平面MQB…（5分）
 （II）解：∵PQ⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
以Q为坐标原点，分别一QA，QB，QP所在的直线为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系Q-xyz．
∵PA=PD=2，∴A（1，0，0），B(0，

3

，0)，P(0，0，

3

)．
设平面MQB的方向量为

n

=(x，y，z)，
由

PA

=(1，0，-

3

)

.

QB

=(0，

3

，0)，
且

n

⊥

PA

，

n

⊥

QB

，得：

x- 3 z=0 3 y=0

，
令z=1，得x=

3

，y=0
∴

n

=(

3

，0，1)为平面MQB的一个方向量．
取平面ABCD的方向量为

m

=(0，0，1)
则cos?

m，

n

＞=

m * n

| m || n |

=

1

2

，
故二面角M-BQ-C大小为60°．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．