Question

（1）求证：函数f（x）=2^x+2^-x在[0，+∞）上是单调递增函数；
（2）求函数f（x）=2^x+2^-x（x∈R）的值域；
（3）设函数h（x）=4^x+4^-x+a（2^x+2^-x）（a∈R），求h（x）的最小值φ（a）．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用导数可证明单调性；
（2）先判断函数的奇偶性，由（1）可知函数在[1，+∞）上的单调性，由单调性及奇偶性可得值域；
（3）h（x）=（2^x+2^-x）²+a（2^x+2^-x）-2，令2^x+2^-x=t，则h（x）=m（t）=t²+at-2，t∈[2，+∞），按照对称轴与区间的位置分两种情况讨论可得；

解答： （1）证明：∵f（x）=2^x+2^-x，
∴f′（x）=2^xln2-2^-xln2=（2^x-2^-x）ln2=

22x-1

2x

•ln2，
∵x∈[0，+∞），∴f′（x）≥0，
∴f（x）=2^x+2^-x在[0，+∞）上是单调递增函数；
（2）解：∵f（-x）=2^x+2^-x=f（x），∴f（x）为R上的偶函数，
由（1）知f（x）在[0，+∞）上为增函数，则x≥0时f（x）≥2⁰+2⁰=2，
由偶函数性质知在（-∞，0]上f（x）≥2，
∴f（x）的值域为[2，+∞）；
（3）解：∵h（x）=（2^x+2^-x）²+a（2^x+2^-x）-2，令2^x+2^-x=t，
则h（x）=m（t）=t²+at-2，t∈[2，+∞），
∵函数m（t）的对称轴方程为t=-

a

2

，
∴①当-

a

2

≥2，即a≤-4时，φ(a)=m(-

a

2

)=-

a2

4

-2；
②当-

a

2

＜2，即a＞-4时，φ（a）=m（2）=2a+2；
综上所述，φ(a)=

- a2 4 -2， a≤-4 2a+2， a＞-4

．

点评：该题考查指数函数与二次函数的综合，考查函数的单调性、奇偶性及其应用，考查学生解决问题的能力．