Question

已知直线l的参数方程：

x=1+tcosθ y=tsinθ

（t为参数），曲线C的参数方程：

x= 2 cosα y=sinα

（α为参数），且直线交曲线C于A，B两点．
（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程，并求θ=

π

4

时，|AB|的长度；
（Ⅱ）已知点P：（1，0），求当直线倾斜角θ变化时，|PA|•|PB|的范围．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：选作题,坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）利用三角函数的平方关系式，将曲线C的参数方程化为普通方程，求出直线AB的方程，代入

x2

2

+y2=1，可得3x²-4x=0，即可求出|AB|的长度；
（Ⅱ）直线参数方程代入

x2

2

+y2=1，A，B对应的参数为t₁，t₂，则|PA|•|PB|=-t₁t₂，即可求出|PA|•|PB|的范围．

解答： 解：（Ⅰ）曲线C的参数方程：

x= 2 cosα y=sinα

（α为参数），曲线C的普通方程为

x2

2

+y2=1．
当θ=

π

4

时，直线AB的方程为，y=x-1，
代入

x2

2

+y2=1，可得3x²-4x=0，∴x=0或x=

4

3

∴|AB|=

1+1

•

4

3

=

4

3

2

；
（Ⅱ）直线参数方程代入

x2

2

+y2=1，得（cos²θ+2sin²θ）t²+2tcosθ-1=0．
设A，B对应的参数为t₁，t₂，∴|PA|•|PB|=-t₁t₂=

1

cos2θ+2sin2θ

=

1

1+sin2θ

∈[

1

2

，1]．

点评：本题主要考查了参数方程化成普通方程，熟练掌握参数方程与直角坐标的互化公式是解题的关键．