Question

在平面直角坐标系xOy中，设动点P，Q都在曲线C：

x=1+2cosθ  y=2sinθ

（θ为参数）上，且这两点对应的参数分别为θ=α与θ=2α（0＜α＜2π），设PQ的中点M与定点A（1，0）间的距离为d，求d的取值范围．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：设出P、Q的坐标，即P （ 1+2cosα，2sinα ），Q （ 1+2cos2α，sin2α ），则PQ的中点M为（1+cosα+cos2α，sinα+sin2α），再根据两点间距离公式求解．

解答： 解：由题设可知P （ 1+2cosα，2sinα ），Q （ 1+2cos2α，sin2α ），
于是PQ的中点M（1+cosα+cos2α，sinα+sin2α）．          
从而d²=MA²=（cosα+cos2α）²+（sinα+sin2α）²=2+2cosα，
因为0＜α＜2π，所以-1≤cosα＜1，
于是0≤d ²＜4，故d的取值范围是[0，2）．

点评：在求解与参数相关的题目时要注意参数范围的限制，例如本题中“0＜α＜2π”，从而得到“-1≤cosα＜1”．