Question

设实数a，x，y，满足

x+y=2a-1 x2+y2=a2+2a-3

，则xy的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用

分析：通过已知条件化简求出xy的表达式，然后利用圆心与直线的距离小于等于半径，求出a的范围，利用二次函数的最值，求出xy最值即可．

解答： 解：实数a，x，y，满足

x+y=2a-1…① x2+y2=a2+2a-3…②

，
①²-②解得：2xy=3a²-6a+4，∵a²+2a-3≥0，∴a≥1或a≤-3．
又

|2a-1|

2

≤

a2+2a-3

，可得2-

2

2

≤a≤2+

2

2

，
综上2-

2

2

≤a≤2+

2

2

令g（x）=

1

2

（3a²-6a+4），对称轴为a=1，1∉[2-

2

2

，2+

2

2

]，
∴a=2-

2

2

是g（x）最小：

11

4

-

3

2

2

，
∴a=2+

2

2

是g（x）最大：

11

4

+

3

2

2

．
xy∈[

11

4

-

3

2

2

，

11

4

+

3

2

2

]；
故答案为：[

11

4

-

3

2

2

，

11

4

+

3

2

2

]；

点评：本题考查函数与方程的综合应用，直线与圆的位置关系，二次函数闭区间是的最值的应用，是中档题．