Question

在Rt△ABC中，两直角边的长分别为AC=a，BC=

2

a，沿斜边AB上的高CD将平面ACD折到平面A′CD，使平面A′CD⊥平面BCD，求折叠后点D到平面A′BC的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：由VC-BDA′=VD-BCA′，设折叠后点D到平面A′BC的距离为h，利用等积法能求出折叠后点D到平面A′BC的距离．

解答： 解：∵Rt△ABC中，两直角边的长分别为AC=a，BC=

2

a，
斜边AB上的高是CD，
∴A′D=

3

3

a，BD=

2 3

3

a，CD=

6

3

a，A′B=

15

3

a，
∴cos∠A′CB=

a2+2a2- 15 9 a2

2 2 a2

=

2

3

，
∴sin∠A′CB=

1- 2 9

=

7

3

，
∴S△A′CB=

1

2

a•

2

a•

7

3

=

14

6

a2，
∵VC-BDA′=VD-BCA′，
设折叠后点D到平面A′BC的距离为h，
∴

1

3

×

2 3

3

a×

3

3

a×

6

3

a=

1

3

×

14

6

a2•h，
解得h=

4 21

21

．
∴折叠后点D到平面A′BC的距离是

4 21

21

．

点评：本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等积法的合理运用．