Question

平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

1

2

，椭圆上的点到点Q（1，0）的距离的最大值为3．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）P、A、B为椭圆上的点，△AOB的面积为

3

，M为AB中点，判断|PQ|²+2|OM|²是否为定值，并求|OP|+|OQ|的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由椭圆离心率可化简椭圆方程为3x²+4y²=3a²，设椭圆上任意一点P（x₀，y₀），由两点间距离公式可表示|PQ|为x₀的函数，利用二次函数的性质可求得函数的最大值，令其为3可求a；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当直线AB垂直x轴时，求出M点坐标可判断|PQ|²+2|OM|²是否为定值，由椭圆性质可求|OP|+|OQ|的最大值；

解答： 解：（I）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

1

2

，椭圆上的点到点Q（1，0）的距离的最大值为3，
∴e=

c

a

=

1- b2 a2

=

1

2

，∴b2=

3

4

a2，∴3x²+4y²=3a²，
设椭圆上任意一点P（x₀，y₀），
则|PQ|=

(x0-1)2+ y 2 0

=

1 4 (x0-4)2+ 3 4 a2-3

(-a≤x0≤a)，
记f(x0)=

1 4 (x0-4)2+ 3 4 a2-3

，
当a≥4时，|PQ|_max=f（-a）=3，解得a=-4（舍）或a=2（舍）；
当0＜a＜4时，|PQ|_max=f（-a）=3，解得a=-4（舍）或a=2．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
当直线AB垂直x轴时，由S△AOB=

3

可得|x₁y₁|=

3

，
与

x12

4

+

y12

3

=1联立可求得|x₁|=

2

，|y₁|=

6

2

，
当A（

2

，

6

2

）时，M（

2

，0），
2|OM|²=4，而P为动点，Q为定点，则|PQ|²为变量，
∴|PQ|²+2|OM|²不为定值．
由椭圆的性质知，|OP|+|OQ|的最大值为a+c=2+1=3．

点评：该题考查椭圆的方程性质、考查直线与椭圆的位置关系、三角形的面积等知识，考查学生分析解决问题的能力．