Question

已知a＞b＞0，曲线C上任意一点P分别与点A（-a，0）、B（a，0）连线的斜率的乘积为-

b2

a2

．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+h（k≠0，h≠0）与x轴、y轴分别交于M、N两点，若曲线C与直线没有公共点，求证：|MN|＞a+b．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件得kPA•kPB=

y

x+a

•

y

x-a

=-

b2

a2

，由此能求出曲线C的方程．
（Ⅱ）由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=kx+h

，得（b²+a²k²）x²+2a²hkx+a²（h²-b²）=0，由此能证明|MN|＞a+b．

解答： （Ⅰ）解：设曲线C上任意一点P的坐标为（x，y）．
依题意kPA•kPB=

y

x+a

•

y

x-a

=-

b2

a2

，
且x≠±a，…（3分）
整理得

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∴曲线C的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1，x≠±a．…（5分）
（Ⅱ）证明：由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=kx+h

，得（b²+a²k²）x²+2a²hkx+a²（h²-b²）=0，
∴△=4a²h²k²-4（b²+a²k²）a²（h²-b²）＜0，
即b²+a²k²＜h²，…（7分）
由已知条件可知M（-

h

k

，0），N（0，h），
∴|MN|2=

h2

k2

+h2＞

b2+a2k2

k2

+a2k2
=a2+b2+

b2

k2

+a2k2
≥a²+b²+2ab，
∴|MN|²＞（a+b）²，即|MN|＞a+b．…（13分）

点评：本题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想和化归与转化思想等，具有一定的难度．