Question

已知直线l₁的方向向量为

a

=（1，3），且过点A（-2，3），将直线x-2y-1=0绕着它与x轴的交点B按逆时针方向旋转一个锐角α（tanα=

1

3

）得到直线l₂，直线l₃：（1-3k）x+（k+1）y-3k-1=0（k∈R）．
（1）求直线l₁和直线l₂的方程；
（2）当直线l₁，l₂，l₃所围成的三角形的面积为3时，求直线l₃的方程．

Answer 1

考点：两直线的夹角与到角问题,直线的一般式方程

专题：直线与圆

分析：（1）利用直线的方向向量求出直线的向量，然后求解直线l₁的方程，利用直线的倾斜角的关系求出直线l₂的斜率，然后求解直线方程；
（2）求出直线l₃过的定点A（-2，3），判断A在l₁上，求出l₁与l₂的交点C，通过点A到l₂的距离，直线l₁，l₂，l₃所围成的三角形的面积为3时，求出l₃与l₂的交点为B，然后求解所求l₃的方程．

解答： 解：（1）直线l₁的方向向量为

a

=（1，3），直线的斜率为：3，且过点A（-2，3），
所求直线方程为：y-3=3（x+2），
∴l₁：3x-y+9=0  （2分）
将直线x-2y-1=0绕着它与x轴的交点B（1，0），按逆时针方向旋转一个锐角α（tanα=

1

3

）得到直线l₂的斜率为：k=

1 2 + 1 3

1- 1 2 × 1 3

=1，所求正确方程为：y=x-1，
∴l₂：x-y-1=0 （5分）
（2）直线l₃：（1-3k）x+（k+1）y-3k-1=0（k∈R）．
得出l₃过定点A（-2，3），（7分）A在l₁：3x-y+9=0 上，
l₁与l₂的交点可以由

3x-y+9=0 x-y-1=0

，解得x=-5，y=-6，
∴C（-5，-6）（8分）
点A到l₂的距离为

|-2-3-1|

2

=3

2

  （9分），
直线l₁，l₂，l₃所围成的三角形的面积为3时，l₃与l₂的交点为B，则|BC|=

2

，
设B（a，a-1），∴

(a+5)2+(a-1+6)2

=

2

，解得a=-4或a=-6，
a=-4时，B（-4-5），此时l₃的方程：4x-y+11=0   （11分），
a=-6时，B（-6，-7），此时l₃的方程：5x-2y+16=0（13分）
所求l₃的方程：4x-y+11=0或5x-2y+16=0．

点评：本题考查直线方程的求法，直线与直线的夹角公式的应用，三角形的面积公式的应用，点到直线的距离等知识．