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已知函数f(x)对于一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0,则当x∈(0,
1
2
),不等式f(x)+2<logax恒成立时,实数a的取值范围是______.
∵f(x)对于一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,
∴令y=0,x=1代入已知式子f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x,
得f(1)-f(0)=2,
∵f(1)=0,
∴f(0)=-2;
令y=0得f(x)+2=(x+1)x,
∴f(x)=x2+x-2.
当x∈(0,
1
2
),不等式f(x)+2<logax恒成立时,
即x2+x<logax恒成立,
设g(x)=x2+x,在(0,
1
2
)上是增函数,
∴0<g(x)
3
4

∴要使x2+x<logax恒成立,
则logax≥
3
4
在x∈(0,
1
2
)恒成立,
若a>1时,不成立.
若0<a<1,则有loga
1
2
=
3
4
时,a=
34
4

∴要使logax≥
3
4
在x∈(0,
1
2
)恒成立,
34
4
≤a<1,
故答案为:[
34
4
,1)
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mx+n
1+x2
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1
2
1
2
]上是奇函数,且f(-
1
4
)=
8
17

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1
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3
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3
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