Question

定义在R上的偶函数f（x）满足：f（0）=5，x＞0时，f(x)=x+

4

x

（1）求x＜0时，f（x）的解析式；
（2）求证：函数f（x）在区间（0，2）上递减，（2，+∞）上递增；
（3）当x∈[-1，t]时，函数f（x）的取值范围是[5，+∞），求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）欲求x＜0时的解析式，根据偶函数f（x）的性质，先设x＜0时，f（x）=f（-x）即可求得；
（2）利用函数单调性的定义证明，任取x₁，x₂∈（0，2）且x₁＜x₂，作差f(x1)-f(x2)=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

与0比较即可；
（3）利用y=f（x）的图象，如图，欲使得函数f（x）的取值范围是[5，+∞），易知t的取值范围．

解答：解：（1）x＜0时，f(x)=f(-x)=-x-

4

x

；（4分）
（2）任取x₁，x₂∈（0，2）且x₁＜x₂，
∵f(x1)-f(x2)=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

而x₁-x₂＜0，0＜x₁•x₂＜4，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，2）上递减；
再任取x₁，x₂∈（2，+∞）且x₁＜x₂同理可得：
函数f（x）在区间（2，+∞）上递增．
（3）利用y=f（x）的图象，如图，
函数f（x）的取值范围是[5，+∞），易知t∈[0，1]．（4分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、函数的值域等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．