Question

某同学对函数f（x）=

sinx

x

进行研究后，得出以下五个结论：
①函数y=f（x）的图象是轴对称图形；
②函数y=f（x）对任意定义域中x值，恒有|f（x）|＜1成立；
③函数y=f（x）的图象与x轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等；
④对于任意常数N＞0，存在常数b＞a＞N，函数y=f（x）在[a，b]上单调递减，且|b-a|≥1；
⑤当常数k满足k≠0时，函数y=f（x）的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点．
其中所有正确结论的序号是（　　）

• A、①②③④
• B、①③④⑤
• C、①②④
• D、①③④

Answer 1

考点：函数的图象,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：①判定函数的奇偶性即可得到结论；
②利用y=sinx的有界性，即可判断|f（x）|＜1成立；
③求出函数的零点，举反例即可得到错误，
④根据函数的单调性即可进行判定
⑤作出函数f（x）的简图，利用数形结合即可判定．

解答：解：①函数的定义域为{x|x≠0}，则f（-x）=

-sinx

-x

=

sinx

x

=f（x）是偶函数，关于y轴对称，即函数y=f（x）的图象是轴对称图形；故①正确．
②根据正弦值在单位圆中的定义可知，|sinx|＜|x|，即在x∈（0，1]时，有|

sinx

x

|＜1，
∵|sinx|≤1，∴在x＞1时，有|

sinx

x

|＜1，
又∵f（x）为偶函数，∴在其定义域内有|

sinx

x

|＜1，故②正确；
③函数f（x）的图象与x轴的交点坐标为（kπ，0）（k≠0），∴交点（-π，0）与（π，0）的距离为2π，而其余任意相邻两点之间的距离为π，故③错误；
④令h₁（x）=

1

x

，h₂（x）=sinx，两函数在[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]上均单调递减，且均为正值，
∴f（x）在[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]上单调递减，对于任意常数N＞0，存在常数b＞a＞N，a，b∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，函数f（x）在[a，b]上单调递减，且|b-a|≥1，故④正确；
⑤f（x）的大致图象如图所示，
y=kx与f（x）的图象可能有2个交点，故⑤错误．
故正确的为①②④，为3个，
故选：C．

点评：本题主要考查函数性质是判定，根据条件分别进行判定证明即可，综合性较强，难度较大．