Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），直线，设圆C的半径为1，圆心在直线上。

（Ⅰ）若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

（Ⅱ）若圆C上存在唯一一点M，使，求圆C的方程。

Answer 1

解：（Ⅰ）由得圆心C为（3，2），

因为圆C的半径为1，

所以圆C的方程为：。

显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为，即。

由，得。

解得或者。

所以所求圆C的切线方程为：或。          5分

（Ⅱ）因为圆C的圆心在直线上，所以，设圆心C为，

则圆C的方程为：。

又因为，所以设M为，则。

整理得：设为圆D。

所以点M应该既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有唯一交点。

所以或。

由，得。

由得，或。

所以圆心坐标为（0，－4）或

综上所述，圆C的方程为：或。    10分