Question

已知函数f（x）是R上的增函数，a，b∈R，证明：若f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b），则a+b＞0．

Answer 1

解：先证原命题的逆否命题：
“若a+b≤0，则f（a）+f（b）≤f（-a）+f（-b）”为真．
证：a+b≤0?a≤-b，b≤-a
?f（a）≤f（-b），f（b）≤f（-a）
?f（a）+f（b）≤f（-b）+f（-a）．
故原命题：若f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b），则a+b＞0也为真．
分析：本题考查的知识点是四种间的逆否关系及四种命题，由已知函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，我们可以先判断原命题的真假，然后根据互为逆否命题的真假性相同，我们也可以得到其逆否命题真假；然后再证明其否命题的真假，再根据其否命题与其逆命题也互为逆否命题，真假性也相同，即可得到其逆命题的真假．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数单调性的性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．