Question

已知函数f(x)=

2

sin(x-

π

12

)，x∈R
（1）求f(-

π

6

)的值；
（2）若sinθ=-

4

5

，θ∈(

3π

2

，2π)，求f(2θ+

π

3

)．

Answer 1

分析：（1）直接把x=-

π

6

代入函数的解析式化简为-

2

sin

π

4

，从而求得结果．
（2）先求得cosθ的值，再利用二倍角公式可得sin2θ 和cos2θ的值，再根据，f(2θ+

π

3

)=

2

sin(2θ+

π

4

)=

2

(sin2θcos

π

4

+cos2θsin

π

4

)，运算求得结果

解答：解：（1）∵f(x)=

2

sin(x-

π

12

)，
∴f(-

π

6

)=

2

sin(-

π

6

-

π

12

)=

2

sin(-

π

4

)=-

2

sin(

π

4

)=-1．
（2）∵sinθ=-

4

5

，θ∈(

3π

2

，2π)，
∴cosθ=

1-sin2θ

=

3

5

，
∴sin2θ=2sinθcosθ=-

24

25

，
∴cos2θ=2cos2θ-1=-

7

25

，
∴f(2θ+

π

3

)=

2

sin(2θ+

π

4

)=

2

(sin2θcos

π

4

+cos2θsin

π

4

) 
=-

24

25

-

7

25

=-

31

25

．

点评：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题．