Question

【题目】定义区间[x1 ， x2]的长度为x2﹣x1（x2＞x1）单调递增），函数 （a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]（n＞m），则区间[m，n]取最大长度时实数a的值（ ）
A.
B.﹣3
C.1
D.3

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由题意得，函数f（x）的定义域是{x|x≠0}， ∵[m，n]是其定义域的子集，∴[m，n]（﹣∞，0）或（0，+∞）．
∵f（x）= 在[m，n]上是增函数，
∴由条件得 ，则m，n是方程f（x）=x的同号相异的实数根，
即m，n是方程（ax）2﹣（a2+a）x+1=0同号相异的实数根．
∴mn= ，m+n= = ，
则△=（a2+a）2﹣4a2＞0，解得a＞1或a＜﹣3．
∴n﹣m= = =
= ，
∴n﹣m的最大值为 ，此时 ，解得a=3，
即在区间[m，n]的最大长度为 时，a的值是3．
故选D．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的值域(求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的)．