Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣ax2（a∈R）
（Ⅰ） 讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ） 若对于x∈（0，+∞），f（x）≤a﹣1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）． 因为 ，
所以：（i）当a≤0时，f'（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（ii）当a＞0时，令 或 （舍）
当 时，f'（x）＞0；当 时，f'（x）＜0．
所以f（x）在 上单调递增；f（x）在 上单调递减．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a+1=lnx﹣ax2﹣a+1（x＞0）
则依题意，g（x）=lnx﹣ax2﹣a+1≤0对x∈（0，+∞）恒成立．
由于 ，所以由（1）可知：
当a≤0时，g（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，g（x）在 上单调递增；在 上单调递减．
此时，g（x）在 处取得最大值．
若a≤0，因为g（1）=﹣2a+1＞0，显然与题设相矛盾；
若a＞0，则题设等价于 （*），
不妨设 ，则 ．
所以（*）式等价转化为 （t＞0）．
记 ，则F（1）=0．
因为 ，所以F（t）在（0，+∞）上单调递增．
所以F（t）≤00＜t≤1，
即： ，解得， ．
所以所求的实数a的取值范围为
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据g（x）=lnx﹣ax2﹣a+1≤0对x∈（0，+∞）恒成立．求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而求出a的范围即可．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．