Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣4|，g（x）=a|x|，a∈R．
（Ⅰ）当a=2时，解关于x的不等式f（x）＞2g（x）+1；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）﹣4对任意x∈R恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=2时，不等式f（x）＞2g（x）+1为|x﹣4|＞4|x|+1， x＜0，不等式化为4﹣x＞﹣4x+1，解得x＞﹣1，∴﹣1＜x＜0；
0≤x≤4，不等式化为4﹣x＞4x+1，解得x＜ ，∴0≤x＜ ；
x＞4，不等式化为x﹣4＞4x+1，解得x＜﹣ ，无解；
综上所述，不等式的解集为{x|﹣1＜x＜ }；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）﹣4对任意x∈R恒成立，即|x﹣4|≥a|x|﹣4对任意x∈R恒成立，
当x=0时，不等式|x﹣4|≥a|x|﹣4恒成立；
当x≠0时，问题等价于a≤ 对任意非零实数恒成立．
∵ ≥ =1，∴a≤1，即a的取值范围是（﹣∞，1]
【解析】（1）当a=2时，不等式f（x）＞2g（x）+1为|x﹣4|＞4|x|+1，分类讨论求得x的范围．（2）由题意可得|x﹣4|≥a|x|﹣4对任意x∈R恒成立．当x=0时，不等式显然成立；当x≠0时，问题等价于a≤ 对任意非零实数恒成立，再利用绝对值三角不等式求得a的范围．
【考点精析】利用绝对值不等式的解法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．