Question

【题目】已知为椭圆的右焦点，点在上，且轴．

（1）求的方程

（2）过的直线交于两点，交直线于点．证明：直线的斜率成等差数列．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）运用椭圆的定义和勾股定理，可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）由题意可设直线AB的方程为y=k（x-2），求得M的坐标，联立椭圆方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，结合等差数列的中项性质，化简整理，即可得证．

解：（1） 因为点在上，且轴，所以，

设椭圆左焦点为，则，，

中，，所以．

所以，，

又，

故椭圆的方程为；

（2）证明：由题意可设直线的方程为，

令得，的坐标为，

由得，，

设，，，，

则有，①．

记直线，，的斜率分别为，，，

从而，，．

因为直线的方程为，所以，，

所以

②．

①代入②得，

又，所以，

故直线，，的斜率成等差数列．