Question

【题目】已知函数f（x）=（x+1）ex和函数g（x）=（ex﹣a）（x﹣1）2（a＞0）（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）判断函数g（x）的极值点的个数，并说明理由；
（3）若函数g（x）存在极值为2a2 ， 求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数y=（x+1）ex，

∴f′（x）=ex+（x+1）ex=（x+2）ex，

由f′（x）＞0得（x+2）ex＞0，

即x+2＞0，得x＞﹣2，即函数的单调增区间为（﹣2，+∞）．

由f′（x）＜0得x＜﹣2，即函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣2）

（2）解：g′（x）=ex（x﹣1）2+（ex﹣a）（2x﹣2）=（x﹣1）（xex+ex﹣2a）=（x﹣1）（f（x）﹣2a），

当x＜﹣1时，f（x）=（x+1）ex≤0，

①当0＜a＜e时，由（1）得f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且f（﹣1）﹣2a＜0，f（1）﹣2a=2e﹣2a＞0，

则唯一x0∈（﹣1，1），使f（x0）=0，

当x∈（﹣∞，x0）时，f（x）﹣2a＜0，故g′（x）＞0，

当x∈（x0，1）时，f（x）﹣2a＞0，故g′（x）＜0，

当x∈（1，+∞）时，f（x）﹣2a＞0，故g′（x）＞0，

故当x=x0时，函数g（x）取得极大值，当x=1时，函数g（x）取得极小值．

②当a=e时，由（1）得f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且f（1）﹣2a=0，

当x∈（﹣∞，1）时，f（x）﹣2a＜0，故g′（x）＞0，

当x∈（1，+∞）时，f（x）﹣2a＞0，故g′（x）＞0，此时函数g（x）无极值．

③当a＞e时，由（1）得f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且f（1）﹣2a=2e﹣2a＜0，

f（lna）﹣2a=a（lna+1）﹣2a=a（lna﹣1）＞0，

则唯一x0∈（1，lna），使f（x0）=0，

当x∈（﹣∞，1）时，f（x）﹣2a＜0，故g′（x）＞0，

当x∈（1，x0）时，f（x）﹣2a＜0，故g′（x）＜0，

当x∈（x0，+∞）时，f（x）﹣2a＞0，故g′（x）＞0，

故当x=x0时，函数g（x）取得极小值，当x=1时，函数g（x）取得极大值．

综上当a∈（0，e）∪（e，+∞）时，g（x）有两个极值点，

当a=e时，g（x）无极值点

（3）解：由（2）知当0＜a＜e时，∵g（1）=0≠ ，

故g（x0）=（e ﹣a）（x0﹣1）2=2a2，①

由f（x0）=0得a= ，代入①得（e ﹣ ）（x0﹣1）2=2[ ]2，

整理得（1﹣x0）3﹣（1+x0）2e ﹣=0，

设h（x）=（1﹣x）3﹣（1+x）2ex，﹣1＜x＜1，

∵h′（x）=﹣3（1﹣x）2﹣（x+3）（1+x）ex，

∴当﹣1＜x＜1时，h′（x）＜0，

∴h（x）在（﹣1，1）上单调递减，

∵h（0）=0，

∴x0=0，a= = ∈（0，e）符号题意，

当a＞e时，∵g（x0）＜g（1）=0＜a2，

∴不存在符号题意的a，

综上当a= 时，g（x）存在极值等于a2

【解析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数的关系即可求函数f（x）的单调区间；（2）求函数的导数，根据函数极值和导数的关系即可判断函数g（x）的极值点的个数，并说明理由；（3）根据函数的极值，建立方程关系进行求解即可求a的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的极值与导数的理解，了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．