【题目】已知函数
(1)若函数的图像在公共点P处有相同的切线,求实数m的值和P的坐标;
(2)若函数的图像有两个不同的交点M、N,求实数m的取值范围;
(3)在(2)的条件下,过线段MN的中点作x轴的垂线分别与的图像和
的图象交于S、T点,以S点为切点作
以T为切点作
的切线
,是否存在实数m,使得
?如果存在,求出m的值;如果不存在,请说明理由。
【答案】(1);(2)
;(3)不存在,理由见解析.
【解析】
(1)设两图象公共点P(x0,y0),P的坐标满足f(x)和g(x)解析式得到关系式①,又在点P处有共同的切线得到关系式②,②和①联立求解即可.(2)有两个交点转为
有两个解,利用变量分求解即可;(3)利用反证法即可得到证明.
解:(1)设函数
则有 ①
又在点P处有共同的切线,
②
②代入①,得 设
所以,函数最多只有1个零点,观察得
此时,点P(1,0).
(2)有两个交点即方程有两个解,
即在(0,+∞)上有两个解.
设h(x)= ,∴
, ∴x=1
易知x=1为极大值点,且h(x)>0,且以x轴为渐近线
∴0<m+1<1,∴
另解:根据(1)知,当时,两条曲线切于点P(1,0),
此时,变化的y=g(x)图象对称轴为
而是固定不变的,如果继续让对称轴向右移动,
即 解得
两条曲线有两个不同的交点,当
时,开口向下,只有一个交点,显然不合题意,所以,有
(3)假设存在这样的m,不妨设
以S为切线的切线l1的斜率,
以T为切点的切线l2的斜率
如果存在m,使得
即 ③
而且有如果将③的两边同乘以
得
,即
,④
即,设
,则
,
令,则
⑤
∴④与⑤矛盾,所以,不存在实数
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【题目】已知函数f(x)=(x+1)ex和函数g(x)=(ex﹣a)(x﹣1)2(a>0)(e为自然对数的底数).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)判断函数g(x)的极值点的个数,并说明理由;
(3)若函数g(x)存在极值为2a2 , 求a的值.
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【题目】在一般情况下,城市主干道上的车流速度 (单位:千米/小时)是车流密度
(单位:辆/千米)的函数。当主干道上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时。研究表明:当
时,车流速度
是车流密度
的一次函数。
(1)当 时,求函数
的表达式;
(2)当车流密度为多大时,车流量(单位时间内通过主干道上某观测点的车辆数,单位:辆/小时) 可以达到最大?并求出最大值。(精确到1辆/小时)
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【题目】如图,设椭圆(a>2)的离心率为
,斜率为k(k>0)的直线L过点E(0,1)且与椭圆交于C,D两点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若直线l与x轴相交于点G,且,求k的值.
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【题目】若函数f(x)满足f′(x)﹣f(x)=2xex , f(0)=1,其中f′(x)为f(x)的导函数,则当x>0时,的最大值为( )
A.
B.2
C.2
D.4
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为
.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当△AMN的面积为时,求k的值.
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【题目】如图,设a,b,c,d>0,且不等于1,y=ax , y=bx , y=cx , y=dx在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的大小顺序( )
A.a<b<c<d
B.a<b<d<c
C.b<a<d<c
D.b<a<c<d
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【题目】等差数列{an}的前n项和为Sn , 若a7>0,a8<0,则下列结论正确的是( )
A.S7<S8
B.S15<S16
C.S13>0
D.S15>0
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