Question

【题目】如图，设椭圆（a＞2）的离心率为，斜率为k（k＞0）的直线L过点E（0，1）且与椭圆交于C，D两点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线l与x轴相交于点G，且，求k的值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】

（Ⅰ）由椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；

（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+1，求得G的坐标，设C（x1，y1），D（x2，y2），将直线方程代入椭圆方程，可得关于x的一元二次方程，运用根与系数关系和向量相等，可得关于k的方程，即可得到所求值．

（Ⅰ）由题意可得，

解得=，

则椭圆方程为；

（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+1，可得G（﹣，0），

设C（x1，y1），D（x2，y2），

将直线方程代入椭圆方程，

可得（2+3k2）x2+6kx﹣9=0，

△=36k2+36（2+3k2）＞0恒成立，

即有x1+x2=﹣，

则，,

由，可得x1+=0﹣x2，

即有x1+x2+=0，

即﹣+=0，

解得=（负的舍去）．