Question

【题目】如图，直三棱柱中，，，分别是的中点．

（1）证明：平面平面；

（2）求三棱锥的高．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)1.

【解析】分析：（1）要证明平面平面，利用平面与平面垂直的判定定理，在其中一个平面内找一条直线与另一个平面垂直。由，是的中点，可得。因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，进而可得。由已知条件直三棱柱中，，，分别是的中点．可得：，进而得∽，所以，所以。因为，由直线与平面垂直的判定定理可得平面，再由平面与平面垂直的判定定理可得平面平面。（2）求三棱锥的高，直接作高不容易判断垂足的位置，故可以用等体积法求高。由（1）可知可用 来求。由（1）知直线平面ADE，故求，,，进而求得。由条件可求得， ，知三角形边长要求面积，应先求一个角，故由余弦定理推论可得：，进而求，可求, 设三棱锥的高为，由，得：，解得.

详解：（1）由已知得：

所以∽

所以，所以

又因为，是的中点，所以

所以平面，所以

而，所以平面

又平面，

所以平面平面；

（2）设三棱锥的高为，因为,

所以，

由已知可求得， ，

在中，由余弦定理的推论可得 ，

所以，所以,

由，得：，所以.