【题目】已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx.
(Ⅰ)若 f(x)≥0,求a的值;
(Ⅱ)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+ )(1+ )…(1+ )<m,求m的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)因为函数f(x)=x﹣1﹣alnx,x>0,
所以f′(x)=1﹣ = ,且f(1)=0.
所以当a≤0时f′(x)>0恒成立,此时y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以在(0,1)上f(x)<0,这与f(x)≥0矛盾;
当a>0时令f′(x)=0,解得x=a,
所以y=f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,即f(x)min=f(a),
又因为f(x)min=f(a)≥0,
所以a=1;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知当a=1时f(x)=x﹣1﹣lnx≥0,即lnx≤x﹣1,
所以ln(x+1)≤x当且仅当x=0时取等号,
所以ln(1+ )< ,k∈N*,
所以 ,k∈N* .
一方面,因为 + +…+ =1﹣ <1,
所以,(1+ )(1+ )…(1+ )<e;
另一方面,(1+ )(1+ )…(1+ )>(1+ )(1+ )(1+ )= >2,
同时当n≥3时,(1+ )(1+ )…(1+ )∈(2,e).
因为m为整数,且对于任意正整数n(1+ )(1+ )…(1+ )<m,
所以m的最小值为3.
【解析】(Ⅰ)通过对函数f(x)=x﹣1﹣alnx(x>0)求导,分a≤0、a>0两种情况考虑导函数f′(x)与0的大小关系可得结论;
(Ⅱ)通过(Ⅰ)可知lnx≤x﹣1,进而取特殊值可知ln(1+ )< ,k∈N* . 一方面利用等比数列的求和公式放缩可知(1+ )(1+ )…(1+ )<e;另一方面可知(1+ )(1+ )…(1+ )>2,且当n≥3时,(1+ )(1+ )…(1+ )∈(2,e).
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和等比数列的前n项和公式,需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;前项和公式:才能得出正确答案.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】据统计,某地区植被覆盖面积公顷与当地气温下降的度数之间呈线性相关关系,对应数据如下:
公顷 | 20 | 40 | 60 | 80 |
3 | 4 | 4 | 5 |
请用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;
根据中所求线性回归方程,如果植被覆盖面积为300公顷,那么下降的气温大约是多少?
参考公式:线性回归方程;其中,.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数f(x)=cos(x+ ),则下列结论错误的是( )
A.f(x)的一个周期为﹣2π
B.y=f(x)的图象关于直线x= 对称
C.f(x+π)的一个零点为x=
D.f(x)在( ,π)单调递减
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【题目】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+ cosA=0,a=2 ,b=2.
(Ⅰ)求c;
(Ⅱ)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.
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【题目】如图,AB为圆O的直径,C在圆O上,CF⊥AB于F,点D为线段CF上任意一点,延长AD交圆O于E,∠AEC=30°.
(1)求证:AF=FO;
(2)若CF= ,求ADAE的值.
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