【题目】已知函数f(x)=x2﹣2x+a(ex﹣1+e﹣x+1)有唯一零点,则a=( )
A.﹣
B.
C.
D.1
【答案】C
【解析】解:因为f(x)=x2﹣2x+a(ex﹣1+e﹣x+1)=﹣1+(x﹣1)2+a(ex﹣1+ )=0,
所以函数f(x)有唯一零点等价于方程1﹣(x﹣1)2=a(ex﹣1+ )有唯一解,
等价于函数y=1﹣(x﹣1)2的图象与y=a(ex﹣1+ )的图象只有一个交点.
①当a=0时,f(x)=x2﹣2x≥﹣1,此时有两个零点,矛盾;
②当a<0时,由于y=1﹣(x﹣1)2在(﹣∞,1)上递增、在(1,+∞)上递减,
且y=a(ex﹣1+ )在(﹣∞,1)上递增、在(1,+∞)上递减,
所以函数y=1﹣(x﹣1)2的图象的最高点为A(1,1),y=a(ex﹣1+ )的图象的最高点为B(1,2a),
由于2a<0<1,此时函数y=1﹣(x﹣1)2的图象与y=a(ex﹣1+ )的图象有两个交点,矛盾;
③当a>0时,由于y=1﹣(x﹣1)2在(﹣∞,1)上递增、在(1,+∞)上递减,
且y=a(ex﹣1+ )在(﹣∞,1)上递减、在(1,+∞)上递增,
所以函数y=1﹣(x﹣1)2的图象的最高点为A(1,1),y=a(ex﹣1+ )的图象的最低点为B(1,2a),
由题可知点A与点B重合时满足条件,即2a=1,即a= ,符合条件;
综上所述,a= ,
故选:C.
通过转化可知问题等价于函数y=1﹣(x﹣1)2的图象与y=a(ex﹣1+ )的图象只有一个交点求a的值.分a=0、a<0、a>0三种情况,结合函数的单调性分析可得结论.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为:“有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件,若要使织布的总尺数不少于20尺,该女子所需的天数至少为 .
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设 ,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y+1=0垂直.
(1)求a的值;
(2)若x∈[1,+∞),f(x)≤m(x﹣1)恒成立,求m的范围.
(3)求证: .
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx.
(Ⅰ)若 f(x)≥0,求a的值;
(Ⅱ)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+ )(1+
)…(1+
)<m,求m的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(14分)在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2.
(Ⅰ)求四棱锥P-ABCD的体积V;
(Ⅱ)若F为PC的中点,求证PC⊥平面AEF;
(Ⅲ)求证CE∥平面PAB.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列说法错误的是 ( )
A. “”是“
”的充分不必要条件;
B. 如果命题“”与命题“p或q”都是真命题,那么命题
一定是真命题.
C. 若命题p:,则
;
D. 命题“若,则
”的否命题是:“若
,则
”
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】[选修4-5:不等式选讲]
已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=(x+1)ex和函数g(x)=(ex﹣a)(x﹣1)2(a>0)(e为自然对数的底数).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)判断函数g(x)的极值点的个数,并说明理由;
(3)若函数g(x)存在极值为2a2 , 求a的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在一般情况下,城市主干道上的车流速度 (单位:千米/小时)是车流密度
(单位:辆/千米)的函数。当主干道上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时。研究表明:当
时,车流速度
是车流密度
的一次函数。
(1)当 时,求函数
的表达式;
(2)当车流密度为多大时,车流量(单位时间内通过主干道上某观测点的车辆数,单位:辆/小时) 可以达到最大?并求出最大值。(精确到1辆/小时)
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com