Question

已知函数f（x）=x²+（a+1）x+4，（a∈R）．命题P：函数f（x）在区间[3，+∞）上是增函数；命题Q：当x≥2时，f（x）＞0恒成立．若P或Q为真，P且Q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：由已知中函数f（x）=x²+（a+1）x+4，根据二次函数的图象和性质，我们可能求出命题P：函数f（x）在区间[3，+∞）上是增函数为真命题时，参数a的取值范围，根据函数恒成立问题的充要条件，我们可以求出命题Q：当x≥2时，f（x）＞0恒成立为真命题时，参数a的取值范围，再由P或Q为真，P且Q为假，即命题P与Q必然一真一假，分类讨论后，即可得到实数a的取值范围．

解答：解：∵函数f（x）=x²+（a+1）x+4=(x+

a+1

2

)2+4-(

a+1

2

)2
∴命题P为真命题时：
由题意-

a+1

2

≤3⇒a≥-7
若命题Q为真时：

- a+1 2 ≤2 f(2)＞0

即a＞-5或   

- a+1 2 ＞2 f(- a+1 2 )＞0

即∅
综上：a＞-5---------------------（2分）
因为P或Q为真，P且Q为假，所以P和Q一真一假
P真Q假

a≥-7 a≤-5

或  P假Q真

a＜-7 a＞-5

---------------------（3分）
∴-7≤a≤-5---------------------------（1分）

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，二次函数的图象和性质，复合命题的真假判断，其中根据二次函数的图象和性质，分别求出命题P和命题Q为真是参数a的取值范围，是解答本题的关键．