Question

6．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，E、F分别为BC、CC₁的中点，则直线EF与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线EF与平面BB₁D₁D所成角的正弦值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，E、F分别为BC、CC₁的中点，
∴E（1，2，0），F（0，2，$\frac{1}{2}$），D（0，0，0），B（2，2，0），D₁（0，0，1），
$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=（0，0，1），$\overrightarrow{EF}$=（-1，0，$\frac{1}{2}$），
设平面BB₁D₁D的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{D}_{1}}=z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
设直线EF与平面BB₁D₁D所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{EF}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{EF}|}$=$\frac{1}{\sqrt{\frac{5}{4}}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴直线EF与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故选：D．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．