Question

已知函数f（x）=x²+2x+alnx
（1）若f（x）是区间（0，1）上单调函数，求a的取值范围；
（2）若?t≥1，f（2t-1）≥2f（t）-3，试求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出导函数，然后根据f（x）是区间（0，1）上单调函数，可转化成?x（0，1），f'（x）≥0或?x∈（0，1）f'（x）≤0恒成立，将a分离出来，即可求出a的范围；
（2）先化简f（2t-1）≥2f（t）-3得2（t-1）²2alnt+aln（2t-1）≥0，令g（t）=2（t-1）²-2alnt+aln（2t-1），讨论a与2的大小，利用导数研究g（t）的最小值恒大于等于0即可求出a的范围．

解答：解：（1）f′(x)=2x+2+

a

x

∵f（x）在（0，1）上单调
∴?x（0，1），f'（x）≥0或?x∈（0，1）f'（x）≤0
∴a≥-2（x²+x）或a≤-2（x²+x）
从而a≥0或a≤-4（7分）
（2）f（2t-1）≥2f（t）-3?2（t-1）²2alnt+aln（2t-1）≥0①
令g（t）=2（t-1）²-2alnt+aln（2t-1）
则g′(t)=4(t-1)-

2a

t

+

2a

2t-1

=

2(t-1)[2t(2t-1)-a]

t(2t-1)

当a≤2时
∵t≥1，
∴t-1≥0，2t（t-1）≥2
∴g'（t）≥0对t＞1恒成立，
∴g（t）在[1，+∞）上递增，
∴g（t）≥g（1）=0，即1式对t≥1恒成立．
当a＞2时，
令g'（t）＜0且t＞1，
解得1＜t＜

1+ 1+4a

4

于是，g(t)在[1，

1+4a

4

]上递减，在[

1+ 1+4a

4

，+∞]上递增，
从而有g(

1+ 1+4a

4

)＜g(1)=0，即①式不可能恒成立．
综上所述a≤2．（16分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及不等式恒成立问题，是考试中常考的题型，属于中档题．