Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA=

4

5

，b=5c．
（1）求sinC的值；
（2）求sin（2A+C）的值；
（3）若△ABC的面积S=

3

2

sinBsinC，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理可求的a=3

2

c，进而根据cosA求得sinA，利用正弦定理即可求得sinC．
（2）根据（1）中的sinC求得cosC，进而利用倍角公式求得sin2A和cos2A，代入sin（2A+C）=sin2AcosC+cos2AsinC求得答案．
（3）根据b和c的关系，进而求得sinB和sinC的关系，把sinC代入面积公式求得三角形的面积，进而利用三角形面积公式求得

1

2

bcsinA=S，求得a．

解答：解：（1）∵a²=b²+c²-2bccosA=26c2-10c2×

4

5

=18c²，
∴a=3

2

c．
∵cosA=

4

5

，0＜A＜π，∴sinA=

3

5

．
∵

a

sinA

=

c

sinC

，
∴sinC=

csinA

a

=

c× 3 5

3 2 c

=

2

10

；
（2）∵c＜a，∴C为锐角，
∴cosC=

1-sin2C

=

7 2

10

．
∵sin2A=2sinAcosA=2×

3

5

×

4

5

=

24

25

，
cos2A=2cos2A-1=2×

16

25

-1=

7

25

，
∴sin（2A+C）=sin2AcosC+cos2AsinC
=

24

25

×

7 2

10

+

7

25

×

2

10

=

7 2

10

；
（3）∵b=5c，∴

sinB

sinC

=

b

c

=5，sinB=5sinC．
∴

3

2

sinBsinC=

15

2

sin2C=

3

20

．
又∵S=

1

2

bcsinA=

3

2

c2=

a2

12

，
∴

a2

12

=

3

20

，
∴a=

3 5

5

．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．涉及了三角形面积公式，三角函数中基本公式，考查了学生对知识的综合把握．