Question

关于数列有下列四个判断：
①若a，b，c，d成等比数列，则a+b，b+c，c+d也成等比数列；
②若数列{a_n}是等比数列，则S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n…也成等比数列；
③若数列{a_n}既是等差数列也是等比数列，则{a_n}为常数列；
④数列{a_n}的前n项的和为S_n，且Sn=an-1(a∈R)，则{a_n}为等差或等比数列；
⑤数列{a_n}为等差数列，且公差不为零，则数列{a_n}中不会有a_m=a_n（m≠n）．
其中正确命题的序号是

②③④⑤

．（请将正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：①1，-1，1，-1成等比数列，但1-1，-1+1，1-1不成等比数列；
②根据等比数列前n项和的性质，可知结论正确；
③数列{a_n}是等比数列，所以an=a1qn-1，an+1=a1qn，从而an+1-an=a1qn-1(q-1)，根据若数列{a_n}是等差数列，即可得到{a_n}为常数列；
④数列{a_n}的前n项的和为S_n，且Sn=an-1(a∈R)，则n≥2时，an=Sn-Sn-1 =(a-1)an-1，当n=1时，结论也成立．当a=0时，{a_n}为等差数列；当a≠0时，{a_n}为等比数列；
⑤数列{a_n}为等差数列，所以a_m-a_n=（m-n）d，根据公差不为零，m≠n，可得a_m≠a_n．

解答：解：①1，-1，1，-1成等比数列，但1-1，-1+1，1-1不成等比数列，所以①不正确；
②根据等比数列前n项和的性质，可知若数列{a_n}是等比数列，则S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n…也成等比数列，所以②正确；
③数列{a_n}是等比数列，所以an=a1qn-1，an+1=a1qn，∴an+1-an=a1qn-1(q-1)
∵若数列{a_n}是等差数列，∴q=1，∴{a_n}为常数列，∴③正确；
④数列{a_n}的前n项的和为S_n，且Sn=an-1(a∈R)，则n≥2时，an=Sn-Sn-1 =(a-1)an-1，当n=1时，结论也成立．当a=0时，{a_n}为等差数列；当a≠0时，{a_n}为等比数列，所以④正确；
⑤数列{a_n}为等差数列，∴a_m-a_n=（m-n）d，∵公差不为零，m≠n，∴a_m≠a_n．所以⑤正确
所以正确的命题序号为②③④⑤
故答案为：②③④⑤

点评：本题以命题为载体，考查数列的性质，解题时需要谨慎思考，一一判断．